Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuación lineal en dos variables puede ser resuelto por diversos métodos de los cuales en este punto ya han sido estudiados los métodos de eliminación por, reducción, sustitución, igualación, y gráfico.
Ahora es tiempo de profundizar un poco más en la resolución de sistemas de ecuaciones cuyo orden no esté circunscrito al dos por dos. Una ecuación lineal de \(n\) variables es una expresión en la forma, $$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\cdots+a_nx_n=c_1$$ Se dice que una solución para esta ecuación también llamado conjunto solución, es una sucesión de números \(S\) ordenados tales que, $$x_1=s_1\ \ \ \ \ x_2=s_2\ \ \ \ \ x_3=s_3\ \ \cdots\ \ \ x_n=s_n$$ los cuales cumplen con la condición dada en la ecuación.
En el caso de que en el conjunto solución una de las variables quede expresada en términos de otra se dice que se tiene una solución o representación paramétrica.
Un sistema de ecuación lineal \(n\times n\) es un conjunto de \(n\) ecuaciones lineales, las cuales se deben resolver de manera conjunta. Así por ejemplo si el conjunto de ecuaciones está formado por tres ecuaciones con tres incógnitas se dice que es un sistema \(3\times3,\) y se puede escribir en la forma, \begin{align} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=c_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=c_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=c_3\end{align} Al igual que en los sistemas dos por dos resolver un sistema de ecuación de n ecuaciones es determinar los valores de las incógnitas que hacen verdaderas todas las ecuaciones del sistema, llamado conjunto solución y tal como se estudió el conjunto solución si existe, está formado por el o los puntos de intersección de las rectas que representan las ecuaciones, el cual puede ser compatible determinado (una única solución), compatible indeterminado (infinita solución) o incompatible (no posee solución).
Métodos de resolución.
Los métodos de solución propuestos para sistemas de ecuaciones de orden mayor al dos por dos, además de los ya conocidos, eliminación por sustitución, igualación, y el método gráfico, son la regla de Cramer, el matricial el método de eliminación gaussiano, de Gauss-Jordan,; uso de matrices inversas.
Antes de analizar los métodos de solución de esta sección es necesario considerar algunos conceptos y definiciones importantes las cuales servirán de apoyo y guía en la resolución de sistemas lineales.
Para comenzar considere nueva ve el sistema tres por tres anterior,
\begin{align}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=c_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=c_2\\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=c_3\end{align}
este puede escribirse como el producto de las matrices \(Ax=R\) en la forma,
$$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c_1\\c_2\\c_3\\\end{matrix}\right)$$
Donde la primera matriz, es la matriz de coeficientes, al segunda es de variables y la tercera es de resultados (términos independientes). Esta representación matricial del sistema es muy útil al resolver sistemas de ecuaciones lineales como se verá en esta sección. La primea afirmación sobre matrices y sistemas de ecuaciones que se hará es la siguiente.
Soluciones de un sistema de ecuación.
El sistema de ecuación
\begin{align}
&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=c_1\\
&a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=c_2\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\
&a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{3n}x_n=c_n\end{align}
puede o no tener solución según las condiciones siguientes:
$$1.~~{\rm Si}~ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right|\neq0$$
posee una única solución.
$$2.~~{\rm Si}~ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right|=0$$
no tiene solución o posee infinitas soluciones.
Regla de Cramer.
Como una aplicación directa al uso de determinantes de una matriz se tiene una regla conocida como la regla de Cramer, esta es aplicable a un sistema lineal de \(n\times n\) ecuaciones y se explica en la siguiente forma. Sea el sistema lineal,
\begin{align}
&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=c_1\\
&a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=c_2\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\
&a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{3n}x_n=c_n\end{align}
tomando la matriz de los coeficientes la cual se denotará como \(M_c\) entonces si el \(detM_c\neq0\) el conjunto solución del sistema puede ser determinado mediante el empleo de determinantes.
Sean los determinantes,
\begin{align}
&D_1=\left|\begin{matrix}r_1&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\r_2&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\r_n&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right|\\
&D_2=\left|\begin{matrix}a_{11}&r_1&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&r_2&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&r_n&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right|\end{align}
hasta llegar al enésimo determinante
\begin{align}
&D_n=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&c_1\\a_{21}&a_{22}&\cdots&c_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&c_3\\\end{matrix}\right|\end{align}
donde los valores de variables \(x_i\) han sido cambiados por los valores de las contantes \(c_i\) entonces,
$$x_1=\frac{D_1}{D};\ \ \ x_2=\frac{D_2}{D};\ \ \ \ x_3=\frac{D_3}{D};\ \ \ x_n=\frac{D_n}{D}$$
Ejemplo 1. Contando monedas otra vez. Una persona tiene $3 950 en monedadas de $25 y de $10. Si tiene un total de 200 monedas. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?
Solución: esta situación ya fue resuelta en el ejemplo tres, al estudiar sistema \(2\times2\) mediante eliminación por sustitución, ahora, se presenta la solución mediante el método de Cramer. Sean \(v\) y \(d\) las cantidades de monedas de veinticinco y diez pesos respectivamente, de los datos,
$$\left\{\begin{array}i
v+d=200\\
25v+10d=3950\end{array}\right.$$
que escrito en forma de matrices es,
$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&10\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\3950\\\end{matrix}\right)$$ entonces mediante regla de Cramer,
\begin{align}
&v=\frac{D_v}{D};\ \ \ d=\frac{D_d}{D}~~~{\rm para}\\
&D=\left|\begin{matrix}1&1\\25&10\\\end{matrix}\right|=1\left(10\right)-1\left(25\right)=-15\\
&D_v=\left|\begin{matrix}200&1\\3950&10\\\end{matrix}\right|=200\left(10\right)-1\left(3950\right)=-1950\\
&D_d=\left|\begin{matrix}1&200\\25&3950\\\end{matrix}\right|=1\left(3950\right)-200\left(25\right)=-1050\end{align}
así que,
$$v=\frac{-1950}{-15}=130\ \ \ \ \ \ \ \ \ d=\frac{-1050}{-15}=70$$
De donde se tiene 130 monedas de $25 y setenta monedas de $10, que es el mismo resultado que el encontrado por sustitución.
Ejemplo 2, a tomar café. Cierta marca de café produce y comercializa dos tipos de café \(c_1\) y \(c_2\) los cuales pone a disposición de sus clientes en cada supermercado local. Una persona compra dos paquetes del tipo \(c_1\) y tres del tipo \(c_2\) por un precio de $1230, mientras que otra persona compra cinco paquetes del tipo \(c_1\) y dos del tipo \(c_2\) por un precio de $1590. Determinar mediante el empleo de la regla de Cramer el precio de cada paquete de café.
Solución: sean \(c_1\) y \(c_2\) el precio de los paquetes de café. De los datos,
$$\left\{\begin{array}i
2c_1+3c:2=1230\\
5c_1+2c_2=1590
\end{array}\right.$$
que escrito en forma de matrices es,
\begin{align}
&\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c_1\\c_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1230\\1590\\\end{matrix}\right)\ {\rm entonces}\ c_1=\frac{D_{c_1}}{D};\ \ \ c_2=\frac{D_{c_2}}{D}\\
&D=\left|\begin{matrix}2&3\\5&2\\\end{matrix}\right|=2\left(2\right)-3\left(5\right)=-11\\
&D_{c_1}=\left|\begin{matrix}1230&3\\1590&2\\\end{matrix}\right|=1230(2)-3\left(1590\right)=-2310\\
&D_{c_2}=\left|\begin{matrix}2&1230\\5&1590\\\end{matrix}\right|=2\left(1590\right)-1230\left(5\right)=-2970\end{align}
De donde los precios de los paquetes de café son:
$$c_1=\frac{-2310}{-11}=210\ \ \ \ \ \ \ \ \ c_2=\frac{-2970}{-11}=270$$
Ejemplo 3. Un sistema \(3\times3\). En un taller de mecanizado cierto proceso puede ser realizado mediante el empleo de tres máquinas A, B y C diferentes. Cuando el proceso se realiza en las máquinas A y B tarda doce horas; cuando lo realiza en A y C tarda dieciséis horas, pero si se realiza en las maquinas B y C lo realizan en 21 horas. Determine el tiempo que tarda realizar el proceso en cada una de las máquinas por separado.
Solución: sean A, B, y C los tiempos que tarda cada máquina para realizar el proceso. Escribiendo sin las unidades se forma el sistema
$$\left\{\begin{array}i
A+B=12\\
A+C=16\\
B+C=21
\end{array}\right.$$
que en forma de matrices es,
\begin{align}
&\left(\begin{matrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\\C\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\\21\\\end{matrix}\right)\\
&A=\frac{D_A}{D};\ \ \ B=\frac{D_B}{D};\ \ \ \ C=\frac{D_C}{D}\end{align}
Para calcular cada determinante se usará el método de triangulación (Sarrus sin escribir el proceso) por ser matrices de orden tres por tres, y considerar que es el método más fácil para estos casos.
\begin{align}
&D=\left|\begin{matrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\\\end{matrix}\right|=-(1+1)=-2\\
&D_A=\left|\begin{matrix}12&1&0\\16&0&1\\21&1&1\\\end{matrix}\right|=21-\left(0+16+12\right)=-7\\
&D_B=\left|\begin{matrix}1&12&0\\1&16&1\\0&21&1\\\end{matrix}\right|=16-\left(21+12\right)=-17\\
&D_C=\left|\begin{matrix}1&1&12\\1&0&16\\0&1&21\\\end{matrix}\right|=12-\left(16+21\right)=-25\end{align}
de donde se concluye que,
\begin{align}
&A=\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2};\ \ \ B=\frac{-17}{-2}=\frac{17}{2};\ \ \ \ C=\frac{-25}{-2}=\frac{25}{2}\end{align}
y por tanto, la máquina A tarda 3.5 horas en hacer el proceso, B tarda 8.5 horas y C tarda 25.2 horas.
Debido a lo tedioso que puede ser el cálculo de un determinante de orden mayor a \(3\times3\) no se recomienda este método para sistemas de orden mayor.
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Método de eliminación gaussiana.
Dado un sistema lineal cualquiera de \(n\) ecuaciones, $$\left\{\begin{array}i a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=c_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=c_1\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+\cdots+a_{3n}x_n=c_1\\ \end{array}\right.$$ el método de eliminación gaussiana consiste en escribir el sistema en forma de matriz aumentada para luego mediante operaciones con renglones (filas) escribir la matriz aumentada como, $$\left(\begin{matrix}1&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&1&\cdots&u_{2n}\\0&0&1&\vdots\\0&0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\\\end{matrix}\right.\right)$$ que es la forma reducida por renglones (al estudiar álgebra lineal profundizará más esta forma) donde los \(u_{ij}\) y \(c_{ij}\) son las entradas conseguidas bajo las operaciones elementales por renglones, y por medio de sustitución hacia atrás obtener los valores de los \(x_{ij}\).
Ejemplo. Compuertas lógicas. En un pequeño taller de electrónica se han comprado un total de cincuenta compuertas lógicas, entre los tipos AND, OR y XOR por un monto de $1290 dólares. Si el precio para ellas es $20, $27 y $35 respectivamente y el número de compuertas AND es el duplo de las compuertas XOR determinar mediante eliminación gaussiana, cuántas compuertas de cada tipo se compraron.
Solución: sean \(x_1,x_2\) y \(x_3\) la cantidad de compuerta comprada de los tipos AND, OR y XOR respectivamente, de los datos se obtiene,
$$\left\{\begin{align}
&x_1+x_2+x_3=50\\
&x_1=2x_3\\
&20x_1+27x_2+35x_3=1290
\end{align}\right.$$
Ordenando la segunda ecuación y escribiendo la matriz aumentada:
$$\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&0&-2\\20&27&35\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}50\\0\\1290\\\end{matrix}\right.\right)$$
Realizando operaciones elementales por renglones,
\begin{align}
&-20R_2+R_3\Longrightarrow R_3:
&\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&0&-2\\0&27&75\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}50\\0\\1290\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
\begin{align}
&R_1-R_2\Longrightarrow R_2:
&\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&3\\0&27&75\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}50\\50\\1290\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
\begin{align}
&-27R_2+R_3\Longrightarrow R_3:
&\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&3\\0&0&-6\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}50\\50\\-60\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
\begin{align}
-R_3/6=R_3:\ \left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&3\\0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}50\\50\\10\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
de donde la sustitución hacia atrás produce,
\begin{align}
x_3=10\\
x_2+3x_3=50 \Longrightarrow x_2=20\\
x_1+x_2+x_3=50 \Longrightarrow x_1=20\\
\end{align}
De esto se concluye que las cantidades de compuertas compradas fueron veinte AND, veinte OR y diez XOR.
Ejemplo. Longitudes geométricas. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 100m. Si la suma de los dos lados mayores es 80m y la diferencia del lado y el menor es 24m determinar la medida de cada uno de sus lados, aplicando eliminación gaussina.
Solución: sean \(l_1,l_2\) y \(l_3\) las longitudes en metro de los lados del triángulo ordenadas de mayor a menor, entonces,
$$\left\{\begin{array}i
l_1+l_2+l_3=100\\
l_1+l_2 =80\\
l_1-l_3=24m\end{array}\right.\Longrightarrow\ \left(\begin{matrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&-1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100\\80\\24\\\end{matrix}\right.\right)$$
Aplicando operaciones elementales por renglones,
\begin{align}
&R_2-R_3\Longrightarrow R_3:\ \ \left(\begin{matrix}1&1&1\\1&1&0\\0&1&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100\\80\\56\\\end{matrix}\right.\right)\\
&R_1-R_2\Longrightarrow R_2:\ \left(\begin{matrix}1&1&1\\0&0&1\\0&1&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100\\20\\56\\\end{matrix}\right.\right)\\
&R_2 \rightleftarrows R_3~~\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100\\56\\20\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
de donde la sustitución hacia atrás produce,
\begin{align}
l_3=20\\
l_2+l_3=56\Longrightarrow l_2=36\\
l_1+l_2+l_3=100\Longrightarrow l_1=44
\end{align}
Como puede notar resolver un sistema lineal \(3\times3\) puede resultar ser muy simple, y aun más, no es necesario realizar las operaciones elementales por renglones paso a paso, así que se puede realizar más de una operación en un solo para dar con el resultado de una forma más rápida.
Ejemplo. Cantidad de boletas. Una sala de concierto con capacidad para \(1500\) personas vende tres tipos de boletos de entradas \(B_1,B_2\) y \(B_3\) que corresponden a la posición de la persona frente con el escenario. Para cierta presentación “a casa llena” el precio de los boletos fue de \($2000,\ $1500\) y \($1000\) para los tipos \(B_1,B_2\) y \(B_3\) respectivamente. Si se sabe que el total de boletas del tipo \(B_1\) vendidas fue un cuarto del número de boletas \(B_3\) y que el monto recaudado fue \($1\ 950\ 000.\) Determine el número de boletas vendidas de cada tipo.
Solución: de los datos del ejercicio,
$$\left\{\begin{array}i
B_1+B_2+B_3 =1500\\
2000B_1+1500B_2+1000B_3=1 950 000\\
B_3=4B1\end{array}\right.$$
Simplificando la segunda ecuación y escribiendo la matriz aumentada,
\begin{align}
&\left(\begin{matrix}1&1&1\\20&15&10\\-4&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}1500\\19500\\0\\\end{matrix}\right.\right)\\
&\begin{matrix}-20R_1+R_2\Longrightarrow R_2\\R_2+5R_3\Longrightarrow R_3\\\end{matrix}\ \ \left(\begin{matrix}1&1&1\\0&-5&-10\\0&15&15\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}1500\\-10500\\19500\\\end{matrix}\right.\right)\\
&\begin{matrix}-R_2/5\Longrightarrow R_2\\3R_2+R_3\Longrightarrow R_3\\\end{matrix}\ \ \ \left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&-15\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}1500\\2100\\-12000\\\end{matrix}\right.\right)\\
&-R_3/15\Longrightarrow R_3\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}1500\\2100\\800\\\end{matrix}\right.\right)\\ \end{align}
De donde realizando sustitución hacia atrás al sistema,
\begin{align}
B_3=800\\
B_2+2B_3=2100\Longrightarrow B_2=500\\
B_1+B_2+B_3=1500\Longrightarrow B_1=200\\
\end{align}
Eliminación Gauss-Jordan
Una método de resolución de un sistema de ecuación lineal muy parecido al método de eliminación gaussina lo constituye el método de Gauss-Jordan. Este consiste en reducir la matriz aumentada del sistema mediante operaciones elementales por renglones hasta la forma, $$\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\\\end{matrix}\right.\right)$$ así por ejemplo en el sistema del ejemplo anterior en vez de comenzar la sustitución hacia atrás en la matriz $$\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}1500\\2100\\800\\\end{matrix}\right.\right)$$ se debe continuar las operaciones elementales por renglones hasta obtener \begin{align} &-2R_3+R_2\Longrightarrow R_2\ \ \left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}1500\\500\\800\\\end{matrix}\right.\right)\\ &-R_3-R_2+R_1\Longrightarrow R_1\ \ \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}200\\500\\800\\\end{matrix}\right.\right)\end{align} de donde \(B_1=200 \ \ B_2=500 \ \) y \(B_3=800\).
Como se puede notar existe un enorme parecido entre el método gaussiano y el Gauss-Jordan por lo cual no se requiere del desarrollo de muchos ejemplos para este método, el siguiente ejemplo ilustra este hecho.
Ejemplo. Intereses recibidos. Una persona recibe un total de $12050 dólares por tres inversiones la cuales suman $100 000. Los intereses recibidos por las inversiones son un 15% por certificados financieros, 12% por bonos, y un 10% por acciones de compañía. Si se sabe que la cantidad invertida en bonos excede en $5000 a lo invertido acciones de compañía determinar el monto de cada inversión.
Solución: sean \(x_1,~x_2\) y \(x_3\) los montos invertidos en certificados, bonos y acciones respectivamente, de los datos se tienen las ecuaciones
\begin{align}
x_1+x_2+x_3 =100000\\
\frac{15}{100}x_1+\frac{12}{100}x_2+\frac{10}{100}x_3 =12050\\
x_2=x_3+5000\end{align}
que simplificando la segunda ecuación y escribiendo en la matriz aumentada es,
$$\left(\begin{matrix}1&1&1\\15&12&10\\0&1&-1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100000\\1205000\\5000\\\end{matrix}\right.\right)$$
Realizando ahora operaciones elementales con renglones
\begin{align}
&-15R_1+R_2\Longrightarrow R_2\ \left(\begin{matrix}1&1&1\\0&-3&-5\\0&1&-1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100000\\-295000\\5000\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
\begin{align}
&\begin{matrix}\\R_3\Longrightarrow R_2\\R_2\Longrightarrow R_3\\\end{matrix}\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&-1\\0&-3&-5\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100000\\5000\\-295000\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
\begin{align}&\begin{matrix}\\3R_2+R_3\Longrightarrow R_3\\\\\end{matrix}\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&-1\\0&0&-8\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100000\\5000\\-280000\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
\begin{align}&\begin{matrix}\\3R_2+R_3\Longrightarrow R_3\\-R_3/8\Longrightarrow R_3\\\end{matrix}\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&-1\\0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}100000\\5000\\35000\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
\begin{align}&\begin{matrix}R_1-R_2-R_3\Longrightarrow R_1\\R_2+R_3\Longrightarrow R_2\\\\\end{matrix}\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}25000\\40000\\35000\\\end{matrix}\right.\right)\end{align}
Por tanto, los montos invertidos son \($25\ 000\) en certificados financieros, \($40\ 000\) en bonos, y \($35\ 000\) en acciones de compañía.
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Solución mediante matrices inversas.
Hasta este punto se ha estudiado como resolver un sistema de ecuación por los métodos, de eliminación por sustitución, igualación, reducción, gráfico, regla de Cramer, eliminación gaussiana, eliminación Gauss-Jordan, y ahora es el turno del uso de matrices inversas.
Si una matriz \(A\) es invertible (no singular), entonces el sistema \(Ax=R\) que escrito en desarrollo es, $$\left(\begin{matrix}a_1&a_1&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\ \right)\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r_1\\r_2\\\vdots\\r_n\\\end{matrix}\right)$$ tiene la solución única \(x=A^{-1}R\)
Ejemplo Trabajando en la granja. Un granjero dispone de 2000 tareas de tierra para el cultivo de maíz, frijoles de soya y cebada (tres de los principales granos consumido en el mundo). Debido a la demanda del mercado sabe que debe sembrar el doble de maíz que de cebada y por razones de almacenamiento y procesamiento la cantidad de tareas a sembrar de cebada debe ser la cantidad de frijoles de soya disminuida en 200. Determinar la cantidad de tareas a sembrar de cada tipo de grano usando matrices inversas.
Solución: sean \(x_1,x_2\) y \(x_3\) las cantidades de tareas a sembrar de cada tipo de grano, de los datos.
\begin{align}
x_1+x_2+x_3=2000\\
x_1=2x_3\\
x_3=x_2-200\end{align}
de donde resultan las matrices
$$A=\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&0&-2\\0&-1&1\\\end{matrix}\right)\ x=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\end{matrix}\right)\ R=\left(\begin{matrix}2000\\0\\-200\\\end{matrix}\right)$$
Cuya solución única es \(x=A^{-1}R,\) y recordando que \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}C^T\) donde \(C^T\) es la matriz cofactor transpuesta (adjunta de A), se inicia por calcular el determinante de \(A.\) Expandiendo la primera columna se tiene,
$$\left|A\right|={(-1)}^{1+1}(1)\left|\begin{matrix}0&-2\\-1&-1\\\end{matrix}\right|+{(-1)}^{2+1}(1)\left|\begin{matrix}1&1\\-1&1\\\end{matrix}\right|+0$$
\(\left|A\right|=-2-2=-4,\) que es distinto de cero, por tanto, \(A\) es invertible. Escribiendo ahora la matriz cofactor \(C,\)
$$C=\left(\begin{matrix}\left|\begin{matrix}0&-2\\-1&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&-2\\0&1\\\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}1&\ \ \ 0\\0&-1\\\end{matrix}\right|\\-\left|\begin{matrix}1&1\\-1&1\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}1&1\\0&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&\ \ \ 1\\0&-1\\\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}1&1\\0&-2\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&1\\1&-2\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}1&1\\1&0\\\end{matrix}\right|\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1&-1\\-2&1&1\\-2&3&-1\\\end{matrix}\right)$$
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}C^T\Longrightarrow-\frac{1}{4}\left(\begin{matrix}-2&-2&-2\\-1&1&3\\-1&1&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1/2&1/2&1/2\\1/4&-1/4&-3/4\\1/4&-1/4&1/4\\\end{matrix}\right)$$
$$x=A^{-1}R\Longrightarrow\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1/2&1/2&1/2\\1/4&-1/4&-3/4\\1/4&-1/4&1/4\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2000\\0\\-200\\\end{matrix}\right)$$
$$\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000+0-100\\500-0+150\\500-0-50\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}900\\650\\450\\\end{matrix}\right)$$
De donde se concluye que se han de sembrar 1000 tareas de maíz, 650 de frijoles de soya y 450 de cebada.
Ejemplo. Un concesionario de vehículos tiene una disponibilidad de cien automóviles para el alquiler divididos entre los segmentos C (compacto), D (mediano) y E(ejecutivo). El precios de renta por día para es de $30, $40 y $50 dólares para cada segmento respectivamente. En cierto día fueron rentados todos los autos, lo cual generó un ingreso de $3970. Si el total de autos medianos supera en dieciséis a los ejecutivos, determinar mediante el uso de matrices inversas cuánto autos de cada tipo tiene el concesionario disponible para la renta.
Solución: sean \(x_1,x_2\) y \(x_3\) las cantidades de autos para la renta de los segmentos C, D, y E respectivamente, de los datos,
\begin{align}
x_1+x_2+x_3=100\\
30x_1+40x_2+50x_3=3970\\
x_2=x_3+16\end{align}
de donde se obtienen las matrices,
$$A=\left(\begin{matrix}1&1&1\\30&40&50\\0&1&-1\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ x=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ R=\left(\begin{matrix}100\\3970\\16\\\end{matrix}\right)$$
y la solución al sistema es \(x=A^{-1}R,\) para \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}C^T\)
Tomando como pivote el último renglón:
$$\left|A\right|=0+{(-1)}^{3+2}\left|\begin{matrix}1&1\\30&50\\\end{matrix}\right|-1{(-1)}^{3+3}\left|\begin{matrix}1&1\\30&40\\\end{matrix}\right|$$
\(\left|A\right|=-(50-30)-(40-30)=-30,\) que es distinto de cero, por tanto, A es invertible y escribiendo ahora la matriz cofactor C,
$$C=\left(\begin{matrix}\left|\begin{matrix}40&50\\1&-1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}30&50\\0&-1\\\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}30&40\\0&1\\\end{matrix}\right|\\-\left|\begin{matrix}1&1\\1&-1\\\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}1&1\\0&-1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&1\\0&1\\\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}1&1\\40&50\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&1\\30&50\\\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}1&1\\30&40\\\end{matrix}\right|\\\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}-90&30&30\\2&-1&-1\\10&-20&10\\\end{matrix}\right)$$
\begin{align}
& A^{-1}=\frac{1}{|A|}C^T\\
&A^{-1}=-\frac{1}{30}\left(\begin{matrix}-90&2&10\\30&-1&-20\\30&-1&10\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1/15&-1/3\\-1&1/30&2/3\\-1&1/30&-1/3\\\end{matrix}\right)\end{align}
Determinando ahora \(x=A^{-1}R\) se tiene,
$$x=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1/15&-1/3\\-1&1/30&2/3\\-1&1/30&-1/3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\3970\\16\\\end{matrix}\right)$$
$$\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300-794/3-16/3\\-100+3970/30+32/3\\-100+3970/30-16/3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\43\\27\\\end{matrix}\right)$$
Que es el número de auto compactos, mediano y ejecutivo rentado.
Ejemplo Geometría. El perímetro de un triángulo es \(86m.\) La suma del primer lado con el segundo es \(48m.\) Muestra que la diferencia entre el tercer lado y el segundo es de \(8m\) ¿Cuál es la longitud de cada lado?
Solución: sean \(a,\ b\) y \(c\) las longitudes (en metro) de los lados del triángulo.
\begin{align}
a+b+c=86\\
a+b=48\\
c-b=8\end{align}
que en forma de matrices es,
$$\left(\begin{matrix}1&\ \ \ 1&\ \ 1\\1&\ \ \ 1&\ \ 0\ \\0&-1&\ \ 1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\\c\ \\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\48\\8\\\end{matrix}\right)$$
$$\left(\begin{matrix}a\\b\\c\ \\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\ \ \ 1&\ \ 1\\1&\ \ \ 1&\ \ 0\ \\0&-1&\ \ 1\\\end{matrix}\right)^{-1}\left(\begin{matrix}86\\48\\8\\\end{matrix}\right)$$
Que para la matriz
$$A=\left(\begin{matrix}1&\ \ \ 1&\ \ 1\\1&\ \ \ 1&\ \ 0\ \\0&-1&\ \ 1\\\end{matrix}\right) {\rm entonces}~ A^{-1}=\frac{1}{|A|}C^T$$
Comenzando por calcular el determinate \(|A|\).
\begin{align}
&|A|=\left|\begin{matrix}1&\ \ \ 1&\ \ 1\\1&\ \ \ \ 1&\ \ 0\\0&\ -1&\ \ 1\\\end{matrix}\right|\end{align}
Expandiendo la primera columna
\begin{align}
&|A|={(-1)}^{2+1}\left|\begin{matrix}1&1\\-1&1\\\end{matrix}\right|+{(-1)}^{2+2}\left|\begin{matrix}1&1\\0&1\\\end{matrix}\right|\\
&|A|=-1(2)+1(1)=-1\end{align}
Así que la matriz \(A\) es invertible por ser \(\left|A\right|\neq0.\) Determinando ahora la matriz cofactor,
\begin{align}
&C=\left(\begin{matrix}\ \ \ \ \left|\begin{matrix}\ \ 1&\ \ 0\\-1&\ \ 1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&\ \ 0\\0&\ \ 1\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \left|\begin{matrix}1&\ \ \ \ 1\\0&\ -1\\\end{matrix}\right|\\-\left|\begin{matrix}\ \ 1&\ \ 1\\-1&\ \ \ 1\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}1&\ \ \ 1\\0&\ \ \ 1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&\ \ \ \ 1\\0&-\ 1\\\end{matrix}\right|\\\ \ \ \ \left|\begin{matrix}1&\ \ \ 1\\1&\ \ \ \ 0\ \\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&\ \ \ 1\\1&\ \ 0\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}1&\ \ 1\\1&\ \ 1\\\end{matrix}\right|\\\end{matrix}\right)\\
&C=\left(\begin{matrix}\ \ \ 1&-1&-\ 1\\-2&\ \ \ 1&\ \ \ \ 1\\-1&\ \ \ 1&\ \ \ \ 0\\\end{matrix}\right)\\
&C^T=\left(\begin{matrix}\ \ 1&-2&-1\\-1&\ \ \ 1&\ \ \ \ \ 1\ \ \\-1&\ \ \ 1&\ \ \ 0\\\end{matrix}\right)\end{align}
de donde
\begin{align}&\left(\begin{matrix}a\\b\\c\ \\\end{matrix}\right)=\ \frac{1}{|A|}C^T\left(\begin{matrix}86\\48\\8\\\end{matrix}\right)\\
&\left(\begin{matrix}a\\b\\c\ \\\end{matrix}\right)=-1\left(\begin{matrix}\ \ 1&-2&-1\\-1&\ \ \ 1&\ \ \ \ \ 1\ \ \\-1&\ \ \ 1&\ \ \ 0\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\48\\8\\\end{matrix}\right)\\
&\left(\begin{matrix}a\\b\\c\ \\\end{matrix}\right)=-\left(\begin{matrix}86-96-8\\-86+48+8\\-86+48\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\30\\38\\\end{matrix}\right)\end{align}
Las cuales son las longitudes de los lados del triángulo en metro.